题目内容

在四棱锥PABCD中,PA平面ABCDABC是正三角形,ACBD的交点M恰好是AC的中点,又CAD30°PAAB4,点N在线段PB上,且.

(1)求证:BDPC

(2)求证:MN平面PDC

(3)设平面PAB平面PCDl,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由.

 

1)见解析(2)见解析(3不平行

【解析】(1)因为ABC是正三角形,MAC的中点,

所以BMAC,即BDAC.

又因为PA平面ABCDBD?平面ABCD,所以PABD.

PAACA,所以BD平面PAC

PC?平面PAC,所以BDPC.

(2)在正三角形ABC中,BM2

ACD中,因为MAC的中点,DMAC,所以ADCDCDA120°,所以DM,所以BMMD31

所以BNNPBMMD,所以MNPD

MN?平面PDCPD?平面PDC,所以MN平面PDC.

(3)假设直线lCD,因为l?平面PABCD?平面PAB,所以CD平面PAB.

CD?平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB

所以CDAB.

又知CDAB不平行,

所以直线l与直线CD不平行.

 

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