Question

【题目】如图，在三棱台中，分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若平面 ， 求平面与平面所成的角（锐角）的大小.

Answer 1

【答案】
（1）

证法一：连接DG,CO，设CD∩GF＝O，连接OH
在三棱台DEF-ABC中，
AB=2DE,G为AC的中点
可得DF∥GC,DF=GC
所以四边形DFCG为平行四边形
则0为CD的中点，又H为BC的中点
所以OH∥BD

又平面平面

所以平面．

证法二
在三棱台DEF-ABC中，
由BC=2EF,H为BC的中点
可得BH∥EF,BH = EF ,
所以四边形BHEE为平行四边形
可得BE∥HF;
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH ∥AB
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED
因为BD平面ABED
所以BD∥平面FGH

（2）解：解法一：

设AB=2,则CF=1
在三棱台DEF-ABC中，
G为AC的中点
由
可得四边形DGCF为平行四边形，
DG ∥CF
C⊥平面ABC

所以DG⊥平面ABC
在△ABC中，由AB⊥BC,，G是AC中点，
所以.A B = BC. GB⊥GC
因此GB,GC,GD两两垂直，
以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz

所以,,,
可得,
故=,

设是平面的一个法向量，则

由得

可得平面的一个法向量

应为是平面的一个法向量=，

所以COS＜,＞
所以平面与平面所成的解锐角的大小为
解法二
作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM

由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC

所以HM⊥平面ACFD
所以∠MNH即为所求的角

在△BGC中,MH∥BG， MH二，

由
可得
从而
由平面，平面
得

因此
所以
所以平面FGH平面ACFD所成角(锐角）的大小为

【解析】（1）思路一：连接DG,CD，设CD∩GF＝O，连接OH，先证明OH∥BD，从而由直线平面平行的判定定理得BD∥平面HDF；
思路二：先证明平面FGH∥平面ABED，再由平面与平面平行的定义得到BD∥平面HDF。
（2）思路一：连接DG,CD，设CD∩GF＝O，连接OH，证明GB,GC,GD两两垂直，以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz，利用空量向量的夹角公式求解；
思路二：作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM，证明∠MNH即为所求的角，然后在三角形中求解，
本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.

【考点精析】解答此题的关键在于理解用空间向量求直线与平面的夹角的相关知识，掌握设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：．