题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
且点
和
分别为
和
的中点
（1）求证：
平面
（2）求二面角
的正弦值
（3）设
为棱
上的点，若直线
和平面所成角的正弦值为
，求线段
的长
【答案】
（1）
见解答
（2）
（3）
【解析】如图，以
为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
,又因为
分别为
和
的中点，得
（1）证明：依题意，可得
为平面
的一个法向量，
，由此可得，
，又因为直线
平面，所以
平面
（2）
,设
为平面
的法向量，则
，即
,不妨设
，可得
。
设
为平面
的一个法向量，则
,又
，得
,不妨设，可得
因此有
,于是
,所以二面角
的正弦值为。
（3）依题意，可设
，其中
则
从而
又为平面的一个法向量，由已知得
整理得
又因为，解得
所以线段
的长为
【考点精析】利用空间向量的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
练习册系列答案
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【题目】(2015·陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天气 | 晴 | 雨 | 阴 | 阴 | 阴 | 雨 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 晴 | 阴 | 雨 | 阴 | 阴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
