Question

设向量

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=（1，0）．其中，α∈（0，π）β∈（π，2π）．

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，当θ₁-θ₂=

π

3

时，求sin

α-β

2

的值．

Answer 1

∵

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，则θ₁，θ₂∈（0，π）
又α∈（0，π）β∈（π，2π）
∴cosθ₁=

a • c

| a || c |

=

1+cosα

(1+cosα)2+sin2α

=

1+cosα

2(1+cosα)

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

=cos

α

2

∴θ1=

1

2

α
同理可得cosθ₂=

b • c

| b || c|

=sin

β

2

=cos（

β-π

2

）
∵

β

2

∈(

1

2

π，π)
∴θ2=

β-π

2

∵∵θ₁-θ₂=

π

3

∴

α

2

-

β-π

2

=

π

3

∴

α-β

2

=-

π

6

∴sin

α-β

2

=-

1

2