题目内容
（2012•株洲模拟）给定an=logn+1(n+2)(n∈N*)，使a1•a2…ak为整数的k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2012]内的所有希望数的和为
2026
2026
．分析：可利用对数换底公式将an=logn+1（n+2）（n∈N*），转化为an=
，从而可求得第一个希望数为2，
第二个希望数为6，…第k个希望数为2k-2，利用数列的分组求和法即可求得答案．
| lg(n+2) |
| lg(n+1) |
第二个希望数为6，…第k个希望数为2k-2，利用数列的分组求和法即可求得答案．
解答：解：∵an=logn+1（n+2）=
，
∴a1•a2=
•
=2，即第一个希望数为2=22-2，
又a1•a2…a6=
•
…
=3，
∴第二个希望数为6=23-2，
…
∴第k个希望数为2k+1-2，
∵210=1024＜2012，211=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内的所有希望数的和
S=（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=
-18
=211-22
=2048-22
=2026．
故答案为：2026．
| lg(n+2) |
| lg(n+1) |
∴a1•a2=
| lg3 |
| lg2 |
| lg4 |
| lg3 |
又a1•a2…a6=
| lg3 |
| lg2 |
| lg4 |
| lg3 |
| lg8 |
| lg7 |
∴第二个希望数为6=23-2，
…
∴第k个希望数为2k+1-2，
∵210=1024＜2012，211=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内的所有希望数的和
S=（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=
| 4(1-29) |
| 1-2 |
=211-22
=2048-22
=2026．
故答案为：2026．
点评：本题考查数列的求和，考查对数的换底公式的应用与数列的分组求和法的应用，综合性强，有一定难度，属于中档题．
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