Question

6．设向量$\overrightarrow{{a}_{k}}$=（cos$\frac{kπ}{6}$，sin$\frac{kπ}{6}$+cos$\frac{kπ}{6}$）（k=0，1，2，…，12），则$\sum_{k=0}^{11}$（a_k•a_k+1）的值为$9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{{a}_{k}}•\overrightarrow{{a}_{k+1}}$=$cos\frac{kπ}{6}•cos\frac{（k+1）π}{6}$+$（sin\frac{kπ}{6}+cos\frac{kπ}{6}）（sin\frac{（k+1）π}{6}+cos\frac{（k+1）π}{6}）$
=$cos\frac{kπ}{6}•cos\frac{（k+1）π}{6}$+$sin\frac{kπ}{6}sin\frac{（k+1）π}{6}$+$sin\frac{kπ}{6}cos\frac{（k+1）π}{6}$+$cos\frac{kπ}{6}sin\frac{（k+1）π}{6}$+$cos\frac{kπ}{6}cos\frac{（k+1）π}{6}$
=$cos\frac{π}{6}$+$sin\frac{2k+1}{6}π$+$\frac{1}{2}（cos\frac{2k+1}{6}π+cos\frac{π}{6}）$
=$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$sin\frac{2k+1}{6}π$+$\frac{1}{2}cos\frac{2k+1π}{6}$，
∴$\sum_{k=0}^{11}$（a_k•a_k+1）=$12×\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$（sin\frac{π}{6}$+$sin\frac{3π}{6}$+$sin\frac{5π}{6}+sin\frac{7π}{6}$+$sin\frac{9π}{6}$+$sin\frac{11π}{6}$+$sin\frac{13π}{6}$+…+$sin\frac{23π}{6}）$+$\frac{1}{2}（cos\frac{π}{6}$+$cos\frac{3π}{6}$+$cos\frac{5π}{6}$+$cos\frac{7π}{6}+cos\frac{9π}{6}+cos\frac{11π}{6}$+$cos\frac{13π}{6}$+…+$cos\frac{23π}{6}）$
=$9\sqrt{3}$+0+0
=$9\sqrt{3}$．
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．