题目内容
本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=,
,且
,
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求直线
在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,直线的参数方程为
(t为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
。
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线交于点A、B,若点P的坐标为
,
求|PA|+|PB|。
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数。
(Ⅰ)若不等式的解集为
,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。
(1)选修:矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力。
【解析】(Ⅰ)由题设得,解得
;
(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线上的两(0,0),(1,3),
由,
得:点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0,0),(-2,2),从而
直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为
。
(2)选修:坐标系与参数方程
【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力。
【解析】(Ⅰ)由得
即
(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得
,
即由于
,故可设
是上述方程的两实根,
所以故由上式及t的几何意义得:
|PA|+|PB|==
。
(3)选修:不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力。
【解析】(Ⅰ)由得
,解得
,
又已知不等式的解集为
,所以
,解得
。
(Ⅱ)当时,
,设
,于是
=
,所以
当时,
;当
时,
;当
时,
。
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