题目内容
如图,△OBC的在个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2),设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P
3为线段OP
1的中点,对于每一个正整数n,P
n+3为线段P
nP
n+1的中点,令P
n的坐标为(x
n,y
n),
(Ⅰ)求a
1,a
2,a
3及a
n;
(Ⅱ)证明
;
(Ⅲ)若记b
n=y
4n+4-y
4n,n∈N
*,证明{b
n}是等比数列.
【答案】
分析:(Ⅰ)由题意可知
,由此可推导出a
n=a
1=2,n∈N
*.
(Ⅱ)将等式
两边除以2,得
,由此可知
(Ⅲ)由
=
和
,知{b
n}是公比为
的等比数列.
解答:解:(Ⅰ)因为
,
所以a
1=a
2=a
3=2,又由题意可知
∴
=
=
,
∴{a
n}为常数列
∴a
n=a
1=2,n∈N
*.
(Ⅱ)将等式
两边除以2,得
,
又∵
∴
(Ⅲ)∵
=
=
,
又∵
,
∴{b
n}是公比为
的等比数列.
点评:本题考查数列的性质和综合运用,解题时要注意公式的灵活运用.
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