题目内容
已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），则不等式f（x3）＞x3+1的解集为
（-∞，1）
（-∞，1）
．分析：构造函数g（t）=f（t）-t-1，g'（t）=f′（t）-1＜0，从而可得g（t）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．
解答：解：设x3=t，则f（x3）＞x3+1转化为f（t）＞t+1．
令g（t）=f（t）-t-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），∴f′（t）＜1．
∴g′（t）=f′（t）-1＜0，
∴g（t）=f（t）-t-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（t）＞t+1的解集?g（x）=f（t）-t-1＞0=g（1）的解集，
即g（t）＞g（1），又g（t）=f（t）-t-1为减函数，
∴t＜1，即t∈（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．
令g（t）=f（t）-t-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），∴f′（t）＜1．
∴g′（t）=f′（t）-1＜0，
∴g（t）=f（t）-t-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（t）＞t+1的解集?g（x）=f（t）-t-1＞0=g（1）的解集，
即g（t）＞g（1），又g（t）=f（t）-t-1为减函数，
∴t＜1，即t∈（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．
点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．
练习册系列答案
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