题目内容
【题目】已知定点A(﹣1,1),动点P在抛物线C:y2=﹣8x上,F为抛物线C的焦点.
(1)求|PA|+|PF|最小值;
(2)求以A为中点的弦所在的直线方程.
【答案】
(1)解:设抛物线C的准线为l,所以l的方程为x=2,
设P到准线的距离为d,垂足为E.由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,
当A,P,E三点共线时最小,|PA|+|PF|最小值为3.
(2)解:设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,
所以x1+x2=﹣2,y1+y2=2,
又因为M,N在抛物线C上,
则有y12=﹣8x1,y22=﹣8x2,做差化简得 kMN=﹣4
又直线MN过点A(﹣1,1),所以有y﹣1=﹣4(x+1),
即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0.
【解析】(1)利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,当A,P,E三点共线时最小,|PA|+|PF|取得最小值;(2)利用点差法,求斜率,即可求以A为中点的弦所在的直线方程.
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