Question

16．已知ab＞0，a+b=2，则$\frac{{a}^{2}+b}{ab}$的最小值为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意变形可得$\frac{{a}^{2}+b}{ab}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{1}{2}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：由基本不等式可得$\frac{{a}^{2}+b}{ab}$
=$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{\frac{a+b}{2}}{a}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{2a}}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{2a}$即b=$\sqrt{2}$a时取等号，
结合a+b=2可得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}-2}\\{b=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$时式子取最小值$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．