题目内容
已知双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），右焦点为F、O为坐标原点，点F，A到渐近线的距离之比为
，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．
（I）求双曲线的方程及k的取值范围；
（II）是否存在常数k，使得向量
+
与
垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（I）求双曲线的方程及k的取值范围；
（II）是否存在常数k，使得向量
| OP |
| OQ |
| AB |
（I）由题意，a=2
根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为
=
=
，
∴c=
，∴b=
=1
∴双曲线的方程为
-y2=1
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠
且k2＜
解得-
＜k＜
且k≠±
；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
，
∵
+
=（x1+x2，y1+y2），
=（-2，2），
+
与
垂直
∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
∴（x1+x2）（k-1）+4=0
∴
+4=0
∴k=
∴存在常数k=
，使得向量
+
与
垂直．
根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为
| |OF| |
| |OA| |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∴c=
| 5 |
| c2-a2 |
∴双曲线的方程为
| x2 |
| 4 |
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
解得-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
| -16k |
| 4k2-1 |
∵
| OP |
| OQ |
| AB |
| OP |
| OQ |
| AB |
∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
∴（x1+x2）（k-1）+4=0
∴
| -16k(k-1) |
| 4k2-1 |
∴k=
| 1 |
| 4 |
∴存在常数k=
| 1 |
| 4 |
| OP |
| OQ |
| AB |
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