Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AC与PB所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过证明DC⊥AD，PA⊥DC，推出DC⊥面PAD，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAD⊥平面PCD；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
证明：（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴DC⊥AD，又PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，
∴DC⊥面PAD，又DC?面PDC，
∴平面PAD⊥平面PCD；
解：（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），
∴

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），设AC与PB所成的角为θ（0＜θ＜90°）
∴cosθ=|cos＜

AC

，

PB

＞|=|

AC • PB

| AC |•| PB |

|=|

2

2 • 5

|=

10

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理的证明，异面直线所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．