Question

（2013•石景山区二模）已知函数f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，把a=2代入可得f(1)=-

1

3

，f'（1）=-2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）由△=8a，分a≤0，当a＞0两大类来判断，其中当a＞0时，又需分0＜a≤2，2＜a＜8，a≥8，三种情形来判断，综合可得答案．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x²-4x+2-a，当a=2时，f(1)=-

1

3

，f'（1）=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y+

1

3

=-2(x-1)，即 6x+3y-5=0．（4分）
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式为△=（-4）²-4×2×（2-a）=8a．
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]
上的最小值是f(2)=

7

3

-2a；最大值是f（3）=7-3a．
（ⅱ）当a＞0时，令f'（x）=0，得 x1=1-

2a

2

，或x2=1+

2a

2

．f（x）和f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的单调增区间为(-∞， 1-

2a

2

)，(1+

2a

2

，+∞ )；单调减区间为(1-

2a

2

，1+

2a

2

)．
①当0＜a≤2时，x₂≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]
上的最小值是f(2)=

7

3

-2a；最大值是f（3）=7-3a．
②当2＜a＜8时，x₁＜2＜x₂＜3，此时f（x）在区间（2，x₂）上单调递减，在区间（x₂，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是 f(x2)=

5

3

-a-

a 2a

3

．
因为 f(3)-f(2)=

14

3

-a，
所以 当2＜a≤

14

3

时，f（x）在区间[2，3]上的最大值是f（3）=7-3a；当

14

3

＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最大值是f(2)=

7

3

-2a．
③当a≥8时，x₁＜2＜3≤x₂，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）=7-3a；最大值是f(2)=

7

3

-2a．
综上可得，
当a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是

7

3

-2a，最大值是7-3a；
当2＜a≤

14

3

时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

，最大值是7-3a；
当

14

3

＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

，最大值是

7

3

-2a；
当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7-3a，最大值是

7

3

-2a．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，涉及切线方程问题，属中档题．