Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求异面直线AC与SB所成角；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（I）取AC 中点D，连接SD，DB由已知中SA=SC，△ABC是边长为4的正三角形，可由等腰三角形三线合一的性质，我们可得AC⊥SD且AC⊥BD，由线面垂直的性质可得AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB，即异面直线AC与SB所成角为90°
（II）由（I）的结论AC⊥平面SDB，由面面垂直的判定定理可得平面SDC⊥平面ABC，过N作NE⊥BD于E，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，解△ABC，Rt△NEF即可得到二面角N-CM-B的大小．
（III）点B到平面CMN的距离为h，由V_B-CMN=V_N-CMB，我们求出S_△CMN，S_△CMB，及NE的长，代入即可得到点B到平面CMN的距离．

解答：解：（I）取AC 中点D，连接SD，DB．
因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，所以AC⊥平面SDB．
又SB?平面SDB，所以AC⊥SB．
所以异面直线AC与SB所成角为90°．…（4分）
（II）因为AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM，
所以∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=

1

4

MB=

1

2

．
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

所以二面角N-CM-B的大小是arctan2

2

．     …（8分）
（III）在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
所以S_△CMN=

1

2

CM•NF=

3

2

3

，S_△CMB=

1

2

CM•BM=2

3

．
设点B到平面CMN的距离为h，
因为V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
所以

1

3

S_△CMN•h=

1

3

S_△CMB•NE  则h=

4 2

3

即点B到平面CMN的距离为

4 2

3

．             …（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，点到平面的距离，其中（I）的关键是证明AC⊥平面SDB，进而由线面平行的性质得到异面直线AC与SB的关系，（II）的关系是证明得∠NFE为二面角N-CM-B的平面角，（III）中所使用的等体积法，是求点到平面距离最常用的方法之一．