Question

（2012•鹰潭一模）如图，已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  2 5

  5

Answer 1

分析：连接OQ，PF₁，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF₁，OQ=

1

2

PF₁，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF₁=2b，再利用椭圆的定义，得PF₂=2a-2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF₁⊥PF₂，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可

解答：解：如图：连接OQ，PF₁，∵点Q为线段PF₂的中点，∴OQ∥PF₁，OQ=

1

2

PF₁，
∴PF₁=2OQ=2b，
由椭圆定义，PF₁+PF₂=2a，∴PF₂=2a-2b
∵线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，
∴OQ⊥PF₂，
∴PF₁⊥PF₂，且|F₁F₂|=2c，
∴（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²
即3b=2a，5a²=9c²，
∴e=

c

a

=

5

3

故选 B

点评：本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题