题目内容
（2012•鹰潭一模）设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足
=
，
=
+
，λ＞0，则
有（ ）
| AD |
| λ+1 | ||
λ2+
|
| AB |
| AP |
| AD |
| λ |
| λ+1 |
| BC |
| S△APD |
| S△ABC |
分析：根据向量关系，确定DP：BC=
，△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=
，从而可求面积之比，再利用基本不等式，即可得到结论．
| λ |
| λ+1 |
| λ+1 | ||
λ2+
|
解答：解：∵
=
+
=
+
∴
=
∴DP：BC=
∵
=
∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=
∴
=
×
=
=
∵λ＞0，∴λ+
≥2，当且仅当λ=1时，取等号
∴当λ=1时，
取得最大值
=
=1-
故选D．
| AP |
| AD |
| λ |
| λ+1 |
| BC |
| AD |
| DP |
∴
| DP |
| λ |
| λ+1 |
| BC |
∴DP：BC=
| λ |
| λ+1 |
∵
| AD |
| λ+1 | ||
λ2+
|
| AB |
∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=
| λ+1 | ||
λ2+
|
∴
| S△APD |
| S△ABC |
| λ |
| λ+1 |
| λ+1 | ||
λ2+
|
| λ | ||
λ2+
|
| 1 | ||||
λ+
|
∵λ＞0，∴λ+
| 1 |
| λ |
∴当λ=1时，
| S△APD |
| S△ABC |
| 1 | ||
2+
|
2-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
故选D．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角形的面积，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定面积之比．
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