题目内容

(本小题14分) 如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0, p)(p>0), 直线l : y= -p, 点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线,使 .
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线,设切点为A、B,求证:直线AB恒过一定点;
(3)对(2)求证:当直线MA, MF, MB的斜率存在时,直线MA, MF, MB的斜率的倒数成等差数列.

(1).(2)直线恒过定点. (3) 证明:见解析。

解析试题分析:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;
(Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);
(Ⅲ) 由(Ⅱ)的结论,设M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2),且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2,从而可得kMA,kMB由此可证直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.
解:(1)依题意知,点是线段的中点,且
是线段的垂直平分线. ∴
故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
其方程为:
(2)设,两切点为 
∴两条切线方程为xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)    ② 
对于方程①,代入点, 又, 整理得:, 同理对方程②有, 即为方程的两根.
  ③
设直线的斜率为
所以直线的方程为,展开得:,代入③得:,  ∴直线恒过定点.
(3) 证明:由(2)的结论,设 
且有
 

=
又∵,所以
即直线的斜率倒数成等差数列.
考点:本题主要考查了抛物线的定义,考查直线恒过定点,考查直线的向量。属于中档题
点评:解决该试题的关键是正确运用韦达定理,以及抛物线中x,y关系式的转化与化简是解决试题的又一个难点。

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