题目内容

（2010•天津模拟）已知函数f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
)，其中x∈R，则下列结论中正确的是（　　）
分析：把函数解析式第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，约分合并后再利用和差化积公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，
A、由余弦函数的值域得到函数的最大值，即可作出判断；
B、根据三角函数平移规律：左加右减及诱导公式变形求出函数y=
3
sin2x的图象左移
π
3
得到的函数解析式，即可作出判断；
C、找出ω的值，代入周期公式T=
2π
|ω|
求出函数的最小正周期，同时根据余弦函数为偶函数得到f（x）也为偶函数，即可作出判断；
D、根据余弦函数的对称轴为kπ，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，根据k为正整数，可判断x=
π
3
不是函数的对称轴．
解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
)
=1+cos2x-2×
1-cos(2x-
π
3
)
2

=cos2x+cos（2x-
π
3
）
=2cos（2x-
π
6
）cos
π
6

=
3
cos（2x-
π
6
），
∴函数的最大值为
3
，故选项A错误；
将函数y=
3
sin2x的图象左移
π
3
得到函数
y=
3
sin2（x+
π
3
）=
3
sin（2x+
2π
3
）的图象，
即为y=cos（2x+
π
6
）的图象，故选项B错误；
∵ω=2，∴T=
2π
2
=π，且由余弦函数为偶函数得到f（x）为偶函数，
故选项C正确；
根据余弦函数的图象与性质得：2x-
π
6
=kπ，k∈Z，解得：x=
kπ
2
+
π
12
，
若x=
π
3
是函数的对称轴，则有x=
kπ
2
+
π
12
=
π
3
，解得k=
1
2
，不合题意，
故选项D错误，
故选C
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦函数公式，积化和差公式，余弦函数的对称性及奇偶性，以及三角函数图象的平移规律，其中灵活运用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．
练习册系列答案
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①已知a=
∫
π
0
sinxdx，点(
3
，a)到直线
3
x-y+1=0的距离为1；
②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
③m≥-1，则函数y=log
1
2
(x2-2x-m)的值域为R；
④在极坐标系中，点P(2，
π
3
)到直线ρsin(θ-
π
6
)=3的距离是2．
其中真命题是
①③④
①③④
（把你认为正确的命题序号都填在横线上）
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2（π+
3
）
2（π+
3
）
．
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-a+i
1-i
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2
，则实数a的取值范围是（　　）
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