Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1））因为函数f（x）图象关于原点对称，所以对任意实数x有f（-x）=-f（x），即可得出b，d；由x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

解出即可；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．利用导数得出切线的斜率，再用反证法即可证明；
（3）利用导数得出函数在区间[-1，1]上的单调性，得出其最大值与最小值，即可证明．

解答：解（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，∴

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

即

3a+c=0 a+c=- 2 3

，
解得a=

1

3

，c=-1．
故a=

1

3

，b=d=0，c=-1．
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f'（x）=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k1=

x

2 1

-1，k2=

x

2 2

-1，
且(

x

2 1

-1)•(

x

2 2

-1)=-1（*）．
∵x₁、x₂∈[-1，1]，∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0，∴(

x

2 1

-1)•(

x

2 2

-1)≥0
此与（*）相矛盾，故假设不成立．
（3）证明：∵f'（x）=x²-1，令f'（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=

2

3

，fmin(x)=f(1)=-

2

3

∴在[-1，1]上，|f(x)|≤

2

3

，于是x1，x2∈[-1，1]时，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、切线的斜率及其奇偶性、反证法等基础知识与基本技能方法，要求具有较强的推理能力与计算能力．