Question

若关于x的方程

sinxcosx+1

sinx+cosx

-a=0在x∈(

3π

4

，

7π

4

)内恰有两实数解，则实数a的取值范围为

（-

2

，-1]

．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=t，则得 t∈[-

2

，0），a=

t2+1

2t

=

t

2

+

1

2t

，再利用基本不等式求出实数a的取值范围．

解答：解：令sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=t，则有 sinxcosx=

t2-1

2

．
∵x∈(

3π

4

，

7π

4

)，∴π≤x+

π

4

≤2π，-1≤sin（x+

π

4

）≤0．
结合题意可得 t∈[-

2

，0），故 

sinxcosx+1

sinx+cosx

-a=0 即

t2-1 2 +1

t

=a，即 a=

t2+1

2t

=

t

2

+

1

2t

．
∴-a=

-t

2

+

1

-2t

≥2

1 4

=1，当且仅当

-t

2

=

1

-2t

，即 t=-1时，等号成立，故a≤-1，．
当t∈（-

2

，0）时，每一个t值，对应了满足 π≤x+

π

4

≤2π 的2个x值（x+

π

4

可能在第三象限，也可能在第四象限），
故答案为 （-

2

，-1]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．