题目内容

已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
（1）若关于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），试求|
n
+
p
|的取值范围．
分析：（1）由条件求得B=
π
3
，令y=sin（2x+
π
3
 ），由 x∈[0，
π
3
]求得y的值域，再由关于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，
π
3
]上有相异实根，所以y=sin（2x+
π
3
 ）∈[
3
2
，1 ），
由此求得
m
2
∈[
3
2
，1]，从而求得实数m的取值范围．
（2）令
n
=（x，y），由条件
m
•
n
=-1可得x+y=-1．再由
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
，求得以
n
 和
p
的坐标，可得|
n
+
p
|2=1+
1
2
cos（2A+
π
3
 ），再由A的范围求出|
n
+
p
|的范围．
解答：解：（1）∵2B=A+C 且A+B+C=π，∴B=
π
3
． 令y=sin（2x+
π
3
 ），x∈[0，
π
3
]，则 2x+
π
3
∈[
π
3
，π]，∴y=sin(2x+
π
3
)∈[0，1]．
∵关于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，
π
3
]上有相异实根，所以y=sin（2x+
π
3
 ）∈[
3
2
，1 ），即
m
2
∈[
3
2
，1]
所以m∈[
3，
2)．
（2）令
n
=（x，y），∵
m
=（1，1），
m
•
n
=-1，所以x+y=-1．
又
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
，所以
q
•
n
=0，即x=0，故y=-1，
所以
n
=（0，-1），
p
=（cosA，2cos2 
C
2
 ）=（cosA，1+cosC）．
所以|
n
+
p
|2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2（
2π
3
- A）=1+
1
2
cos（2A+
π
3
 ）．
由A∈（0，
π
3
]，得2A+
π
3
∈（
π
3
，π]，得cos（2A+
π
3
 ）∈[-1，
1
2
 ），
∴|
n
+
p
|2∈[
1
2
，
5
4
 ），故|
n
+
p
|∈[
2
2
，
5
2
 ）．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，求向量的模，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（理）已知向量
m
=（1，1），向量
n
和向量
m
的夹角为
3π
4
，|
m
|=
2
，
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边，b2+ac=a2+c2，求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=（1+cosB，sinB）与向量
n
=（0，1）的夹角为
π
3
，其中A、B、C为△ABC的三个内角．
（1）求角B的大小；
（2）若AC=2
3
，求△ABC周长的最大值．
已知向量
m
=（1，1），向量
n
与向量
m
的夹角为
3π
4
，且
m
•
n
=-1
（1）求向量
n
；
（2）设向量
a
=（1，0），向量
b
=(cosx，2cos2(
π
3
-
x
2
))，若
a
•
n
=0，记函数f(x)=
m
•(
n
+
b
)，求此函数的单调递增区间和对称轴方程．
已知向量
m
=（1，1），向量
n
与向量
m
的夹角为
3π
4
，且
m
•
n
=-1
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，而向量p=(cosx，2cos2(
π
3
-
x
2
))，其中0＜x＜
2π
3
，试求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=（λ+1，1），
n
=（λ+2，2），若（
m
+
n
）⊥（
m
-
n
），λ=
 
．

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