Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b}的通项公式为b=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}的通项公式为c_n=a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）与S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1）作差、整理得a_n=n（n≥2），进而可知数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）通过（1）、裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论；
（3）通过（1）可知c_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1），
两式相减得：a_n=n（n≥2），
又∵a₁=$\frac{1}{2}$×（1+1）=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）由（1）可知c_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴R_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$R_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
错位相减得：$\frac{1}{2}$R_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
整理得：R_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，裂项、并项相消法以及错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．