Question

12．已知数列{a_n}的各项均为正，S_n为数列{a_n}的前n项和，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过在a_n²+2a_n=4S_n+3中令n=1可知a₁=3，利用S_n+1-S_n=a_n+1化简、计算可知a_n+1-a_n=2，进而可知数列{a_n}是首项为3、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n²+2a_n=4S_n+3，
∴a₁²+2a₁=4S₁+3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
解得：a₁=3或a₁=-1（舍），
又∵a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3，
∴（a_n+1²+2a_n+1）-（a_n²+2a_n）=4a_n+1，
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵数列{a_n}的各项均为正，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是首项为3、公差为2的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
记数列{b_n}的前n项和为T_n，则
T_n=3•$\frac{1}{3}$+5•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+5•$\frac{1}{{3}^{3}}$•…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
错位相减得：$\frac{2}{3}$T_n=1+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$•…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=1+2×$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{4}{3}$-$\frac{2n+4}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{4}{3}$-$\frac{2n+4}{{3}^{n+1}}$）=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．