Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于零．

(1)求向量的坐标；

(2)求圆x²－6x＋y²＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程；

(3)是否存在实效a，使抛物线y＝ax²－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设＝(u，v)，则由 　　即 　　解得或 　　因为＝＋＝(u＋4，v－3)，所以v－3＞0，得v＝8． 　　故＝(6，8)． 　　(2)由＝(10，5)，得B(10，5)，于是直线OB方程为y＝x． 　　由条件可知圆的标准方程为 　　(x－3)2＋(y＋1)2＝10． 　　∴圆心为(3，－1)，半径为． 　　设圆心(3，－1)关于直线OB的对称点为(x，y)，则 　　解得 　　故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10． 　　(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点，则 　　得 　　即x1，x2为方程x2＋x＋＝0的两个相异实根， 　　于是由Δ＝－4·＞0，得a＞． 　　故当a＞时，抛物线y＝ax2－1上总有关于直线OB对称的两点．