Question

9．已知实数a_i，b_i∈R，（i=1，2，…n），且满足a₁²+a₂²+…a_n²=1，b₁²+b₂²+…b_n²=1，则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． n$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{n}$

Answer 1

分析 由条件利用柯西不等式可得（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）=1≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，由此求得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值．

解答 解：∵a₁²+a₂²+…+a_n²=1，b₁²+b₂²+…+b_n²=1，则由柯西不等式可得
（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，
即 1×1≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，故（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²的最大值为1，
故a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值为1，
故选：A．

点评 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．