题目内容
对于定义域为的函数
,若同时满足:
①在
内单调递增或单调递减;
②存在区间[]
,使
在
上的值域为
;
那么把函数(
)叫做闭函数.
(1) 求闭函数符合条件②的区间
;
(2) 若是闭函数,求实数
的取值范围.
(1)或
或
,(2)
.
解析试题分析:(1)新定义的问题,首先按新定义进行等价转化. 由题意,在[
]上递增,则
解得
或
或
,(2)若
是闭函数,则存在区间[
],在区间[
]上,函数
的值域为[
],可证明函数
在定义域内单调递增,因此
∴
∴
为方程
的两个实数根. 即方程
有两个不相等的实根.
或
解得
,综上所述,
试题解析:[解析](1)由题意,在[
]上递增,则
,
解得或
或
所以,所求的区间为[-1,0]或[-1,1]或[0,1] . 6分(解得一个区间得2分)
(2)若是闭函数,则存在区间[
],在区间[
]上,
函数的值域为[
] 6分
容易证明函数在定义域内单调递增,
∴ 8分
∴ 为方程
的两个实数根. 10分
即方程有两个不相等的实根.
或
14分
解得,综上所述,
16分
考点:新定义,函数与方程
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