题目内容
【题目】已知抛物线上一点
到其焦点
的距离为4,椭圆
的离心率
,且过抛物线的焦点
.
(1)求抛物线和椭圆
的标准方程;
(2)过点的直线
交抛物线
于
两不同点,交
轴于点
,已知
,
,求证:
为定值.
【答案】(1)抛物线的方程为,椭圆的标准方程为
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)利用抛物线C1:y2=2px上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;求出p,即可得到抛物线方程,通过椭圆的离心率e=,,且过抛物线的焦点F(1,0)求出a,b,即可得到椭圆的方程;
(2)直线l1的斜率必存在,设为k,设直线l与椭圆C2交于A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线l的方程为y=k(x-1),N(0,-k),联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理以及判别式,通过向量关系式即可求出λ+μ为定值.
试题解析:
(Ⅰ)抛物线的准线为, 所以
,所以
抛物线的方程为
所以,
,解得
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为
,设直线
与抛物线
交于
则直线的方程为
,
联立方程组:
所以
,
(*)
由得:
得:
所以
将(*)代入上式,得
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【题目】随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好,在该校随机抽取了40名学生,记录他们每天学习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:
根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
学习时间 (分钟/天) | |||
等级 | 一般 | 爱好 | 痴迷 |
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人,试估计其“爱好”中华诗词的概率;
(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间.
【题目】某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为两类(评定标准见表1).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为
的学生中有40%是男生,等级为
的学生中有一半是女生.等级为
和
的学生统称为
类学生,等级为
和
的学生统称为
类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2所示的频率分布直方图,
类别 | 得分( | |
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;
(Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;
(Ⅲ)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%, 类女生占女生总数的比例为
,
类男生占男生总数的比例为
,判断
与
的大小.(只需写出结论)