Question

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，. （1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论.

Answer 1

解:（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则=，解得.

故当时，直线AP与平面所成角为60º.    …………………………5分（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则.依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为的中点时，满足题设的要求.                 ………………………10分