Question

已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(

1

2

)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)成立，对于数列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

．
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（x_n）}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{f（x_n）}，证明：

n

2

-

5

6

＜

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f(xn+1)-1

＜

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定义判断．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

易知0＜x_n＜1，由f（x_n）-f（-x_n）=f(

2xn

1+xn2

)及f（x）在（-1，1）上为奇函数得f（x_n+1+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列，进而可求解．
（3）

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f( xn+1)-1

=

0

2-1

+

2-1

22-1

+…+

2n-1-1

2n+1-1

，由

2n-1

2n+1-1

＜

1

2

可证右面，进而可得答案．

解答：解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

易知0＜x_n＜1
∵f（x_n）-f（-x_n）=f(

2xn

1+xn2

)且f（x）且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=2^n-1
（3）

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f( xn+1)-1

=

0

2-1

+

2-1

22-1

+…+

2n-1-1

2n+1-1

＜

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

点评：本题主要考查抽象抽象函数判断奇偶性及求解析式，进而转化为数列模型研究等比数列求和解决恒成立问题．