Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减．若实数a满足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A．（-∞，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）
• B．(0，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．（0，2]

Answer 1

分析：根据偶函数的定义将所给不等式等价转化为不等式f（|log₂a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log

1

2

a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
∴f（log₂a）+f（log

1

2

a）=2f（log₂a），
∴不等式f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），等价于f（log₂a）≤f（1），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（|x|），
∴f（|log₂a|）≤f（1），
又∵在区间[0，+∞）上单调递减，且f（x）是定义在R上的偶函数，
∴|log₂a|≥1，即，log₂a≤-1或log₂a≥1，
∴0＜a≤

1

2

或a≥2，
a的取值范围是(0，

1

2

]∪[2，+∞)．
故选B．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．属于中档题．