Question

如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
（1）试判断函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2

t+1

，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=

1

2

为下界的函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．利用导数求极小值能够进行判断．
（2）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度：v=S′(t)=a-

1

t+1

，依题意得对?t∈[0，+∞）a≥

1

t+1

+

1

2

对?t∈[0，+∞）恒成立．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．
理由如下：
∵f(x)=x3+

48

x

，
∴f′(x)=3x2-

48

x2

，
由f′(x)=3x2-

48

x2

=0，
得x=2，或x=-2（舍）
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

极小值f（2）=8+

48

2

=32．
∵只有一个极小值，
∴f（x）≥32，
函数f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．
（2）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度：
v=S′(t)=a-

1

t+1

，
依题意得对?t∈[0，+∞）有a-

1

t+1

≥

1

2

；
即：a≥

1

t+1

+

1

2

对?t∈[0，+∞）恒成立．
所以  a≥

3

2

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．