Question

17．已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆r：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（0，1），过点M引两条互相垂直的直线l₁，l₂，若P为椭圆上任意一点，记P到两直线的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+d₂²的最大值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，b=1，可得a，可得：椭圆r的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．由题意可知：直线l₁，l₂的斜率都存在且不为0，设直线l₁方程：y=kx+1，l₂方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．设P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），则${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}$=4．利用点到直线的距离公式可得d₁²+d₂²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$-2y₀+1=$-3{y}_{0}^{2}$-2y₀+5，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，∴a=2b．
∵椭圆r：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（0，1），
∴b=1，
∴a=2．
∴椭圆r的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由题意可知：直线l₁，l₂的斜率都存在且不为0，
设直线l₁方程：y=kx+1，l₂方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
设P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），则${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}$=4．
∴d₁²+d₂²=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（-\frac{1}{k}{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}}{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$
=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}+（{x}_{0}+k{y}_{0}-k）^{2}}{1+{k}^{2}}$=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$-2y₀+1
=$-3{y}_{0}^{2}$-2y₀+5
=-3$（{y}_{0}+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，
∴当${y}_{0}=-\frac{1}{3}$时，d₁²+d₂²的最大值为$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．