题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,对于任意的
都有
,设
时,
.
(1)求;
(2)证明:对于任意的,
;
(3)当时,若不等式
在
上恒定成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)详见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)令,
,
;(2)令
,
,
,
,结合
时,
即可得结果;(3)先证明函数
在
单调递减,根据
,将原不等式化为
,可得
化简,利用不等式恒成立可得结果..
试题解析:(1)令,
,
.
(2)由题意当时,
由(1)知,当,
所以下证,当时,
,
.
(3)
令,
,
,假设
,
故函数在
单调递减,
化简得:
,
.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式,属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点:(1)一定注意抽象函数的定义域(这一点是同学们容易疏忽的地方,不能掉以轻心);(2)注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数);(3)化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
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