题目内容

已知三棱锥O-ABC,OA=5,OB=4,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°,M、N分别是棱OA、BC的中点,则MN=______.
OA=5,OC=3,∠COA=90°,由勾股定理,AC=
34

取AB中点E,连结EN,ME,MC,
则ME和EN分别是三角形AOB和三角形ABC中位线,ME=2,EN=
34
2

在三角形OBM中,根据余弦定理,MB=
16+
25
4
-2•
5
2
•4•
1
2
=
7
2

在三角形OMC中,根据勾股定理,MC=
25
4
+9
=
61
2

在三角形OBC中,根据余弦定理,BC=
9+16-2•3•4•
1
2
=
13

在三角形MBC中,根据“平行四边形中对角线的平方和等于四条边的平方和”,可得4MN2+13=2(
49
4
+
61
4
)

∴MN=
42
2

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