Question

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设此椭圆的左焦点为F₁，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F₂PF₁=60°？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M、N两点在椭圆上，代入椭圆的方程，由平方差法可求得M，N两点的对应坐标的和的关系，再由△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂，也可求得M，N两点的对应坐标的和，两者联立可求出a、b、c 的关系．再结合M、N在直线L上，可求出a、b、c 的值．
（2）假设存在，在△F₂PF₁中由余弦定理表示出cos∠F₂PF₁，再结合椭圆的定义和基本不等式即可求解．

解答：解（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
两式相减得

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

y1-y2

x1-x2

=-

6

5

①，
由

x1+x2+0

3

=c，

y1+y2+b

3

=0，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①
得2b²-5bc+2c²=0?2b=c或b=2c②；
∵M、N在直线L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56?18c+5b=56③；
由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a²=20，
因此椭圆方程为：

x2

20

+

y2

16

=1．
（2）证明：cos∠F1PF2=

r12+r22-16

2r1r2

=

64-2r1r2

2r1r2

≥

128

(r1+r2)2

-1=

3

5

＞

1

2

，
∴∠F₁PF₂＜60°，
∴使∠F₁PF₂=60°的点P不存在．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、待定系数法求轨迹方程、椭圆的定义、焦点三角形等问题，综合性强，运算量大．考查推理能力和运算能力．