Question

【题目】设公差大于0的等差数列{ }的前n项和为 .已知 ，且 ， ， 成等比数列.记数列 的前n项和为 .
（1）求 ；
（2）若对于任意的n ，k 恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：设公差为d，即 即 ①
∵ , , 成等比数列， ∴ 即 即3d=2 ②
由①②得 ,d=2
∴ ，n
∴
∴
（2）解：k 即
∵ ，当且仅当n=3时取等号
∴ ，当且仅当n=3时取等号
∴
【解析】（1）根据等差数列前n项和公式和a1,a4,a13成等比数列可得a1和d的值，进而得到an的通项公式，利用裂项相消法可得到Tn的值。
（2）将Tn和an代入，把k挪到不等式的一侧，利用均值不等式可以得到不等式另一侧的最小值，故k要小于162.