题目内容

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2
2
sin（θ-
π
4
），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
分析：A．因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，圆O中，AM•BM=CM•DM，由此能够证明O，C，P，D四点共圆．
B．设M=
ab
cd
，则
ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
，
ab
cd
-1
2
=
9
15
，由此能求出M．
C．将ρ=2
2
sin（θ-
π
4
），
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
分别化为普通方程：x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦长．
D．由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（
2
x）2+（
3
y）2+z2]•[（
1
2
）2+（
1
3
）2+12]，故2x2+3y2+z2≥
24
11
，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．
解答：A．选修4-1：（几何证明选讲）
证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，
所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，…（4分）
在圆O中，AM•BM=CM•DM，
所以OM•MP=CM•DM，…（8分）
又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆．…（10分）
B．选修4-2：（矩阵与变换）
设M=
ab
cd
，则
ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
，
故
a+b=3
c+d=3
．…（4分）
ab
cd
-1
2
=
9
15
，故
-a+2b=9
-c+2d=15
．…（7分）
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=
-14
-36
． …（10分）
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
解：将方程ρ=2
2
sin（θ-
π
4
），
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
分别化为普通方程：
x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
由曲线C的圆心为C（-1，1），半径为
2
，
所以圆心C到直线l的距离为
2
5
，
故所求弦长为2
2-(
2
5
)2
=
2
46
5
．…（10分）
D．选修4-5（不等式选讲）
解：由柯西不等式可知：
（x+y+z）2≤[（
2
x）2+（
3
y）2+z2]•[（
1
2
）2+（
1
3
）2+12]，…（5分）
故2x2+3y2+z2≥
24
11
，
当且仅当
2
x
1
2
=
3
y
1
3
=
z
1
，
即：x=
6
11
，y=
4
11
，z=
12
11
时，
2x2+3y2+z2取得最小值为
4
11
．…（10分）
点评：A考查与圆有关的比例线段的应用，B考查矩阵与变换的应用，C考查极坐标与参数方程的应用，D考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=
2a
b0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
A选修4-1：几何证明选讲
如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
求证：∠ACB=
1
3
∠OAC．
B选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
.
11
21
.
，向量
β
=
1
2
．求向量
a
，使得A2
a
=
β
．
C选修4-3：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
，焦距为2，求实数a的值．
D选修4-4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
(a+b+c)2
3
（a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．
（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2
3
，OA=
3
OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
.
1a
b1
.
的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．
 选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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