Question

设函数f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ)函数f (x)在（11, 2012）内单调递减，求a范围；

(Ⅱ) 若实数a满足1＜a≤2，函数g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10．

Answer 1

 (Ⅰ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由题意2012≤a…………4分【其他方法酌情给分】

(Ⅱ) (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．……6分

而g ′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，

即b＝－2(a＋1)．又因为1＜a≤2，……8分

所以  g(x)_极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2) Ks*5u＝－3b－8＝6a－2≤10．

故g(x)的极大值小于等于10．…………………………11分