Question

10．如图，在正三棱柱中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与棱AA₁的交点记为M，求：
（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及$\frac{{{A_1}M}}{AM}$的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）．

Answer 1

分析 （1）利用侧面展开法即可求出对角线长；
（2）利用侧面展开法进行求解即可，求出DC₁和$\frac{{{A_1}M}}{AM}$的值即可；
（3）连接DB，C₁B，可证∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角的大小．

解答 解：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形其对角线长为$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．

（II）如图，将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，
连接DC₁交AA₁于M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，
其长为$\sqrt{D{C}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∵△DMA≌△C₁MA₁，
∴AM=A₁M
故$\frac{{{A_1}M}}{AM}$=1．
（III）连接DB，C₁B，
则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂线定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
∵侧面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，以及二面角的求解，利用定义法以及侧面展开法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．