Question

2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知条件分别求出向量$\overrightarrow{AP}$和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出直线PA与平面DEF所成角的正弦值．

解答 解：以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，
AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
D（$\frac{1}{2}$，0，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F（0，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DEF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（（1，0，$\frac{1}{2}$），
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{1}{2×\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面角，考查向量法，正确求出平面的法向量是关键．