题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD.

1)证明:

2)求二面角的余弦值;

3)设Q为线段PD上的点,且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为,求的值.

【答案】1)证明见解析;(2;(3

【解析】

1)以为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明

2)求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.

3)设为线段上的点,,求出,由平面的法向量,且直线和平面所成角的正弦值为,利用向量法能求出结果.

解:(1)证明:∵在四棱锥中,平面ABCD

.

∴以A为原点,ABx轴,ADy轴,AP轴,建立空间直角坐标系,

,∴.

2)解:

设平面APC的法向量

,得

平面PCD的法向量

设二面角的平面角为

.

∴二面角的余弦值为.

3)解:设Q为线段PD上的点,

解得

∵平面PAC的法向量

且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为

解得(舍),

.

练习册系列答案
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参考数据:,若,则

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