题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,,,,,,.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设Q为线段PD上的点,且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明.
(2)求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.
(3)设为线段上的点,,,,,,求出,由平面的法向量,且直线和平面所成角的正弦值为,利用向量法能求出结果.
解:(1)证明:∵在四棱锥中,平面ABCD,
,,,,,.
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,
∴,∴.
(2)解:,,,
设平面APC的法向量,
则,
取,得,
平面PCD的法向量,
设二面角的平面角为,
则.
∴二面角的余弦值为.
(3)解:设Q为线段PD上的点,,
,
则,
解得,,,
∴,,
∵平面PAC的法向量,
且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为,
∴,
解得或(舍),
∴.
练习册系列答案
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【题目】某商场为提高服务质量,随机调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客均对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面不完整的列联表:
满意 | 不满意 | 合计 | |
男顾客 | 50 | ||
女顾客 | 50 | ||
合计 |
(1)根据已知条件将列联表补充完整;
(2)能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |