Question

已知数列满足，（且）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列的前项和为，若恒为一个与无关的常数，试求常数和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），．

试题分析：（Ⅰ）求数列的通项公式，这是已知型求，可仿来求，由，可⇒，二式作差可得，即，再求得即可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，求得，由等差数列的概念可判断是以为首项，以为公差的等差数列，由对任意正整数恒成立，即恒为一个与n无关的常数λ可得到关于λ的方程组，解之即可．
试题解析：（Ⅰ）由题 ①
 ②
由①②得：，即                3分
当时，，，,
所以，数列是首项为，公比为的等比数列
故（）                           6分
（Ⅱ），
，
是以为首项，以为公差的等差数列，       8分

                  10分
恒为一个与无关的常数，
解之得：， ．                        12分