题目内容

(2013•汕头二模)已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ax+lnx,其中常数a∈R.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,-1)上是单调减函数,求a的取值范围;
(3)f′(x)函数f(x)的导函数,问是否存在实数x0∈(1,e),使得对任意实数a,都有f′(x0)=
f(e)-f(1)e-1
成立?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先设x∈(-∞,0)则-x∈(0,+∞),再求出f(-x)利用函数是奇函数求出f(x),最后用分段函数表示出函数的解析式;
(2)根据函数f(x)是奇函数,若函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调减,当且仅当f(x)在区间(1,+∞)上单调减,求导,转化为导数小于等于零恒成立,利用分离参数,即可得a的取值范围;
(3)求出
f(e)-f(1)
e-1
,和f′(x0),解方程即可求得x0的值,从而证明结论.
解答:解:(1)f(0)=0…(1分),x<0时,
f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
所以f(x)=
ax+lnx,x>0
0,x=0
ax-ln(-x),x<0

(2)函数f(x)是奇函数,则f(x)在区间(-∞,-1)上单调减少,
当且仅当f(x)在区间(1,+∞)上单调减少,
当x>0时,f(x)=ax+lnx,f/(x)=a+
1
x

f/(x)=a+
1
x
<0
a<-
1
x
-
1
x
在区间(1,+∞)的取值范围为(-1,0),
所以a的取值范围为(-∞,-1]
(3)存在.
f(e)-f(1)
e-1
=
(ae+1)-a
e-1
=a+
1
e-1
…,
f/(x0)=a+
1
x0
=a+
1
e-1
,得x0=e-1,
因为1<e-1<e,
所以x0=e-1为所求.
点评:此题是个难题.本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
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