题目内容
【题目】已知双曲线C的顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（3，0）且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值
【答案】（1）
（2）
或
或
或
．
【解析】
试题分析：（1）根据双曲线方程的标准形式，利用代定系数法求解即可；（2）把直线方程和曲线方程联立得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，对二次项系数分类讨论，再结合二次函数的性质求解
试题解析：（1）设双曲线C的标准方程为
∴2a=8，
所以a=4，c=5，b=3，
∴双曲线C的标准方程为
（2）直线方程为y=k（x﹣3）
由
得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，
①9﹣16k2=0，即
或
时，直线与双曲线有且仅有一个公共点，
②9﹣16k2≠0，
∴△=（96k2）2+4×144（9﹣16k2）（k2+1）=0，
∴7k2﹣9=0，
∴
或
…（
综上所述，或或
或
．
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