Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1（e为自然对数的底数）．
（I）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（II）若f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得；
（II）将f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为a≥

1+x2-ex

x

在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A(

1

e+1

，0)，B（0，-1），
∴S△OAB=

1

2

×

1

e+1

×1=

1

2(e+1)

，
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

1

2(e+1)

．
（II）由f（x）≥x²得a≥

1+x2-ex

x

，
令h（x）=

1+x2-ex

x

=

1

x

+x-

ex

x

，h′(x)=1-

1

x2

-

ex(x-1)

x2

=

(x-1)(x+1-ex)

x2

，
令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x-1＜0，x²＞0，所以h′(x)=

(x-1)(x+1-ex)

x2

＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．