Question

6．已知抛物线C：y²=4x，以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB，若直线AB过定点P，则点P的坐标为（5，-2）．

Answer 1

分析 设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$．利用$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，化为y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0．代入直线AB的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，化简整理即可得出．

解答 解：设A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$．
∵$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$，
$\overrightarrow{MA}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{2}-2）$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1）（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1）+（{y}_{1}-2）（{y}_{2}-2）$=0，
化为y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0．
直线AB的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，
化为：（y₁+y₂）y-y₁y₂=4x．
令y=-2，则20=4x，解得x=5．
∴直线AB过定点P（5，-2）．
故答案为：（5，-2）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．