题目内容
18．已知数列{an}中，a1=2，an+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{bn}中，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若Sn是数列{$\frac{1}{3}$bn}的前n项和，求$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{\;}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$的值．
分析 （1）运用递推关系式结合等差数列的定义bn+1-bn═$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1=常数，判断即可．
（2）求出$\frac{1}{3}{b}_{n}$=$\frac{n}{3}$，Sn=$\frac{n（n+1）}{6}$，裂项得出$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$），出现正负项求出和．
解答 解：（1）数列{an}中，a1=2，an+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{bn}中，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N*．
∴b1=1，
∵bn+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$，
bn+1-bn═$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1=常数，
∴数列{bn}是等差数列，首项为1，等差为1，
（2）bn=1+n-1=n，
$\frac{1}{3}{b}_{n}$=$\frac{n}{3}$，Sn=$\frac{1}{3}×$（1+2+3+4+…n）=$\frac{n（n+1）}{6}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$），
即$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{\;}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=6（1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$）=6（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{6n}{n+1}$，
点评 本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题
仁爱英语同步练习册系列答案
学习实践园地系列答案| A． | [-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z | B． | [-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z | ||
| C． | [-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z | D． | [kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z |