Question

8．已知定义在区间[-$\frac{π}{2}$，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，当x≥$\frac{π}{4}$时，函数y=sinx．
（1）求f（-$\frac{π}{2}$），f（-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求y=f（x）的表达式
（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，求M_a的所有可能取值及相应a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可求f（-$\frac{π}{2}$）=f（π）=sinπ=0，f（-$\frac{π}{4}$）=f（$\frac{3π}{4}$）=sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）设-$\frac{π}{2}≤x＜\frac{π}{4}$，则$\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}-x≤π$，由f（x）=f（$\frac{π}{2}-x$）=sin（$\frac{π}{2}-x$）=cosx，即可解得分段函数的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx}&{x∈[\frac{π}{4}，π]}\\{cosx}&{x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}）}\end{array}\right.$．
（3）作函数f（x）的图象，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]，分情况讨论即可得解．

解答 解：（1）f（-$\frac{π}{2}$）=f（π）=sinπ=0，
f（-$\frac{π}{4}$）=f（$\frac{3π}{4}$）=sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…3分
（2）设-$\frac{π}{2}≤x＜\frac{π}{4}$，则$\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}-x≤π$，
∴f（x）=f（$\frac{π}{2}-x$）=sin（$\frac{π}{2}-x$）=cosx，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx}&{x∈[\frac{π}{4}，π]}\\{cosx}&{x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}）}\end{array}\right.$…6分
（3）作函数f（x）的图象如下：
显然，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]．
①若0$≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）=a有两解，M_a=$\frac{π}{2}$；
②若a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）=a有三解，M_a=$\frac{3π}{4}$；
③若$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，f（x）=a有四解，M_a=π；
④若a=1，f（x）=a有两解，M_a=$\frac{π}{2}$；
综上所述，当0≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=1时，f（x）=a有两解，M_a=$\frac{π}{2}$；
当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）=a有三解，M_a=$\frac{3π}{4}$；
当$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$时，f（x）=a有四解，M_a=π…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数的对称性及应用，考查了数形结合思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．