题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a>0)

(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.
(Ⅰ)当a=3时,
1
3
x3-
3
2
x2+
9
2

f′(x)=x2-3x,
令f′(x)=x2-3x>0解得x<0或x>3.
所以f(x)的单调递增区间(-∞,0),(3,+∞).
(II)f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=a,即x2-ax-a=0,
因为a>0,
所以△=a2+4a>0恒成立,
所以方程x2-ax-a=0对任意正数a都有解,
所以曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
由(II)知,f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=0得x1=0或x2=a,
因为a>0,所以当0<a<2时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

因为
25-3a
6
>0,
27-a3
6
>0

所以,对应任意x∈[-1,2],f(x)>0,即此时不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
当a≥2时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

因为
25-3a
6
-
43-12a
6
=
3a-6
2
≥0

所以函数f(x)在[-1,2]上的最小值是
43-12a
6

因为存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
所以
43-12a
6
<0

所以a
43
12

所以a 的取值范围为(
43
12
,+∞)
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